You are not authorized to access this page.

EIX CRONOLÒGIC- EL NUMERO PI

By sdelacruzd
  • 1600 BCE

    Els antics egipcis

    Els antics egipcis
    Jabien que existia una relació entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre; i entre l'àrea del cercle i el diàmetre al quadrat En el Papir de Rhind pot llegir-se el següent: "Talla 1/9 del diàmetre i construeix un quadrat sobre la longitud restant. És a dir, l'àrea del cercle (cridem-la A) és igual a 8/9 del diàmetre al quadrat (d=2r), A = d2*64/81 = 4r2*64/81 = r2*256/81. Això equival a dir que assignaven a π el valor 256/81, aproximadament 3'16.
  • 201 BCE

    Els geòmetres de la Grècia clàssica

    Els geòmetres de la Grècia clàssica
    Els geòmetres de la Grècia clàssica sabien que la raó entre la longitud d'una circumferència qualsevol i el seu diàmetre és sempre una constant (el nombre al que ara cridem pi). També coneixien i havien aconseguit demostrar que tant la raó entre l'àrea d'un cercle i el seu diàmetre al quadrat, com la del volum d'una esfera i la galleda del seu diàmetre eren constants.
  • 201 BCE

    Arquimedes

    Arquimedes
    (segle III a. de C.) qui va determinar que aquestes constants estaven estretament relacionades amb π. A més, va utilitzar el mètode de exhaución, inscrivint i circumscrivint en una circumferència polígons de fins a 96 costats i aconseguint una magnífica aproximació (si tenim en compte els mitjans amb els quals explicava), 3+10/71 < π < 3+1/7; és a dir, el nombre buscat està entre 3'1407 i 3'1428
  • 200 BCE

    PTOLOMEU

    PTOLOMEU
    Al segle II d. de C., Ptolomeu utilitza polígons de fins a 720 costats i una circumferència de 60 unitats de radi per aproximar-se una mica més, i dóna el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166...
  • 380

    L'INDIA

    L'INDIA
    De l'Índia ens han arribat uns documents anomenats Siddhantas, que daten del 380 d. de C. Són uns sistemes astronòmics en els quals es dóna a π el valor 3 + 177/1250, que és exactament 3'1416.
  • 500

    XINA

    XINA
    A Xina també es van fer esforços per calcular el seu valor. Liu Hui al segle III, utilitza polígons de fins a 3072 costats per aconseguir el valor de 3'14159, i Tsu Ch'ung Chi al segle V dóna com a valor aproximat 355/113 = 3'1415929...
  • 901

    Al-Khwarizmi

    Al-Khwarizmi
    Al segle IX, Al-Khwarizmi fa notar en el seu tractat d'àlgebra que: "l'home pràctic usa 22/7 com a valor de π, el geòmetra usa 3, i l'astrònom 3,1416."
  • 1429

    Al khasi

    Al khasi
    En 1429, Al-Khasi segueix utilitzant el mètode d'Arquimedes i treballa amb polígons de fins a 805.306.368 costats (3·228) per obtenir el valor 3'14159265358979 (14 xifres). Al segle XVI, el matemàtic francès Vieta va usar polígons de fins a 393.216 (3·217) costats per aproximar-se fins a 3'141592653 (9 xifres).
  • 1540

    Ludolf van Ceulen

    Ludolf van Ceulen
    Però el major assoliment aconseguit amb aquest mètode es deu al matemàtic alemany, resident a Holanda, Ludolf van Ceulen (1540-1610), que va treballar en el càlcul de π gairebé fins al dia de la seva mort.
  • 1580

    Willebrod Snell

    Willebrod Snell
    El següent avanç teòric es deu a dos holandesos. Willebrod Snell (1580-1626) aconsegueix demostrar que l'arc x està comprès entre 3*sen(x)/(2+*cos(x)) i 1/3(2**sen(x)+tan(x)). Christian Huyghens (1629-1695), l'obra del qual ha estat qualificada com a model de raonament geomètric, proposa que l'arc x pot aproximar-se per l'expressió (*sen²(x)*tan x)1/3 .

  • Mesopotàmia

    Mesopotàmia
    A Mesopotàmia, més o menys per la mateixa època, els babilonis utilitzaven el valor 3'125 (3+1/8) segons pot llegir-se en la Tablilla de Susa.

  • John Wallis

    John Wallis
    En 1665, l'anglès John Wallis descobreix el producte infinit π/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * ..., però desafortunadament la seva convergència és molt lenta.

  • G. Leibnitz

    G. Leibnitz
    G. Leibnitz dóna la sèrie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 - ...
    Han de sumar-se uns 19 milions de termes per aconseguir 7 decimals correctes. És fàcil adonar-se que si prenem per a x un valor comprès entre 0 i 1, llavors els termes de la sèrie es fan petits de forma més ràpida, i hem de sumar molts menys termes per aconseguir una bona aproximació. Proposem per exemple prendre x = arrel(3)/3, i obtenim la sèrie: π/6 = arrel(3)/3 * ( 1 - 1/(3*3) + 1/(5*32) - 1/(7*33) + 1/(9*34)

  • John Machin

    John Machin
    La solució a tot havia de ser una sèrie de convergència ràpida i que no impliqués el càlcul d'arrels o expressions excessivament complexes. John Machin (1706) troba la solució: π/4 = 4**arc tan (1/5) - *arc tan (1/239)

  • Leonhard Euler

    Leonhard Euler
    En aquesta època se solia utilitzar la lletra "p" (peripheria) per designar a la raó entre circumferència i diàmetre, encara que alguns, com l'anglès William Jones (1706), ja utilitzaven el símbol π. Va ser Leonhard Euler qui va introduir aquest símbol de forma definitiva en utilitzar-ho en el seu llibre "Introductio in Analysin Infinitorum", publicat en 1748.

  • Karl Friedrich Gauss

    Karl Friedrich Gauss
    El gran matemàtic alemany, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), també va descobrir algunes fórmules similars a les anteriors. Una de les més utilitzades ha estat: π/4 = 12*arc tan (1/18) + 8arc tan (1/57) - 5*arc tan (1/239)

  • Willian Shanks

    Willian Shanks
    Va calcular a mà 707 decimals (527 correctes) utilitzant la fórmula de Machin. El còmput li va suposar una dedicació de 20 anys, acabant en 1853. Per superar aquesta marca va caldre esperar fins a 1946, any en el qual Ferguson detecta l'error de Shanks en el decimal 528. El càlcul ho va realitzar amb l'ajuda d'una calculadora (de les de llavors), arribant en 1947 als 808 decimals

  • Reitweisne

    Reitweisne
    Va ser Reitweisner qui en 1949 i seguint un suggeriment de Von Neumann, va calcular 2037 decimals en 70 hores. Va utilitzar un dels primers ordinadors electrònics, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), que pesava 18 tones. En 1958, Genuys utilitza un IBM 704 per aconseguir els 10.000 decimals en 100 minuts. En tots dos casos es va emprar la fórmula de Machin.

  • Shanks i Wrench

    Shanks i Wrench
    En 1961, Shanks i Wrench aconsegueixen els 100.265 decimals en 8 hores i 43 minuts sobre un IBM 7090. En 1967, Guilloud i Dichampt aconsegueixen els 500.000 sobre un CDC 6600. En 1973, Guilloud i Bouyer aconsegueixen 1.001.250 decimals sobre un CDC 7600 en 22 hores i 11 minuts, més 1 hora i 7 minuts per passar el resultat a decimal. En els tres casos es van utilitzar les fórmules de Gauss i Störmer, una per fer el primer càlcul i l'altra per comprovar-ho.

  • Brent i Salamin

    Brent i Salamin
    En 1976, Brent i Salamin (de forma independent) troben una successió similar a l'anterior però que convergeix de forma quadràtica (el nombre de decimals obtinguts es duplica amb cada iteració).L'algorisme és el que segueix, sent pn una successió que convergeix a π: an = (*an-1+*bn-1)/2 , *bn = arrel (*an-1bn-1) , *cn = *an-1- *an pn = 4(*an+1)2/(1-suma {(k=0,*inf) 2k+1 *ck2}) prenent a0 = 1 , b0 = 1/arrel(2) , n>0

  • Borwein

    Borwein
    Un altre algorisme en aquesta línia és el que els germans Borwein van trobar en 1984, i que també convergeix de forma quadràtica (convergència de segon ordre):xn+1 = (arrel(xn) + 1/arrel(*xn))/2 , *yn+1 = arrel(*xn)(yn + 1)/(*xn + *yn)
    pn=*pn-1    yn+1(*xn+1 +1)/(*yn+1 + 1) prenent x0 = arrel(2) , i0 = 0 , p0 = 2 + arrel(2)

  • Gosper

    Gosper
    Però ja es deixava veure que aquestes fórmules no eren suficients per aconseguir quantitats molt més grans, tals com 1.000.000.000 de xifres (109).. La primera solució va ser una sèrie descoberta per Ramanujan en 1914,que va ser utilitzada per Gosper en 1985 per aconseguir 17.526.200 decimals. La principal característica d'aquesta sèrie és que cada terme sumat afegeix 8 decimals exactes al valor calculat para π.

  • Algoritmes

    Algoritmes
    En 1985 van trobar altres dos algorismes de convergències cúbica i quàrtica respectivament. Aquest últim es calcula de la següent forma, sent una successió que convergeix a 1/π: yn+1 = (1 - (1-*yn4)1/4)/(1 + (1-*yn4)1/4) , *an+1 = (1+*yn+1)4 *an - 22n+3 *yn+1(1 + *yn + *yn+12)prenent i0 = arrel(2) - 1 , a0 = 6 - 4*arrel(2)

  • Bailey

    Bailey
    Aquest últim algorisme va ser utilitzat en 1986 per Bailey per calcular 29.360.111 decimals sobre un Cray-2. Dir que els germans Borwein van seguir treballant en aquest tipus d'algorismes i van trobar successions que convergeixen a π de forma quíntica, sèptica?, nónica,... També van obtenir algunes fórmules similars a la de Ramanujan.

  • Kanada i Tamura

    Kanada i Tamura
    En 1988 Kanada i Tamura calculen 201.326.000 decimals sobre un Hitachi S-820 en 6 hores, utilitzant l'algorisme de Gauss-Legendre (Brent-Salamin). Només van necessitar 28 iteracions per obtenir el resultat. L'algorisme de Borwein de convergència de quart ordre (convergència cuártica) va ser utilitzat per verificar el resultat.

  • Chudnosvsky

    Chudnosvsky
    Aquest mateix any els germans Chudnovsky seguint la línia de Ramanujan troben la següent fórmula: cada terme d'aquesta fórmula afegeix 14 decimals exactes al valor calculat para π, i amb ella van aconseguir la marca de 4.044.000.000 de decimals en 1994 utilitzant un ordinador de fabricació pròpia.

  • Kanada i Takahashi

    Kanada i Takahashi
    Kanada i Takahashi aconsegueixen 206.158.430.000 decimals. Fan dos càlculs independents. El programa principal utilitza l'algorisme de Gauss-Legendre i triga un total de 37h 21m 04s. El programa de verificació utilitza l'algorisme de convergència de quart ordre de Borwein i triga un total de 46h 07m 10s.La velocitat de procés per a cadascun dels microprocessadors pot aconseguir els 8.000.000.000 de FLOPs (8.000 megaflops, 8*109 operacions de coma flotant per segon).

  • Lindemann

    Lindemann
    En 1882 l'alemany Lindemann demostra que π és transcendent, la qual cosa suposa (entre altres coses) que la quadratura del cercle és impossible; aquest problema havia romàs sense resoldre durant més de 2000 anys.

  • Dase

    Dase
    En 1844, Dase, un calculista ultrarrápid, va utilitzar una altra fórmula del tipus arctangent per aconseguir una aproximació amb 200 decimals correctes. La fórmula descoberta per Strassnitzky és: π/4 = *arc tan (1/2) + *arc tan (1/5) + *arc tan (1/8)