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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático y lógico nacido en Rusia. Fue inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor -
450 aC - Contribuciones Preliminares
La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos.
En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos.
Por ejemplo Alberto de Sajonia, en Questiones subtilissime in libros de celo et mundi, demuestra que un haz de longitud infinita tiene el mismo volumen que el 3-espacio. Él demuestra esto cortando el haz en trozos imaginarios que luego se ensamblan en capas concéntricas sucesivas que llenan el espacio. -
Consideraciones de Bolzano (Filósofo y Matemático)
"Una realización de la idea o concepto que concebimos cuando consideramos la disposición de sus partes como una cuestión de indiferencia". Bolzano dió ejemplos para demostrar que, a diferencia de los conjuntos finitos, los elementos de un conjunto infinito podrían ponerse en correspondencia uno a uno con elementos de uno de sus subconjuntos propios. -
Primeros trabajos de Cantor - Creador de la Teoría de Conjuntos (1867 - 1871)
Fue con el trabajo de Cantor no obstante, que la teoría de conjuntos se estableció sobre una base matemática adecuada. Los primeros trabajos de Cantor fueron en teoría de números y publicó una serie de artículos sobre este tema. -
Nacimiento de la Teoría de Conjuntos (1874 - 1878)
Publicó un artículo en el Crelle's Journal, el cual marca el nacimiento de la teoría de conjuntos. Un segundo artículo fue presentado por Cantor en el Crelle's Journal en 1878, pero la teoría de conjuntos ya se estaba convirtiendo en centro de la controversia. En este artículo considera al menos dos tipos diferentes de infinito. Anteriormente no existían estos órdenes de infinito, todas las colecciones infinitas eran consideradas 'del mismo tamaño'. -
Tratados sobre la Teoría de Conjuntos (1879 a 1884)
Cantor publicó un tratado de seis partes sobre la teoría de conjuntos que apareció en la revista Mathematische Annalen y fue un acto de valentía por parte del editor de la publicación de la obra a pesar de la creciente oposición a las ideas de Cantor. Atacaba los problemas de equipotencia, de los conjuntos totalmente ordenados, de las propiedades topológicas de R y Rn,de la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales -
Tratado final sobre la Teoría de Conjuntos (1895 y 1897)
Contiene una introducción que bien parece un libro moderno de la teoría de conjuntos y define el concepto de conjunto, subconjunto, etc. Cantor demuestra que si A y B son conjuntos con A equivalente a un subconjunto de B y B equivalente a un subconjunto de A, entonces A y B son equivalentes. -
Reconocimiento a la Teoría de Conjuntos
La persistencia de Cantor, sumada al apoyo personal y científico de Dedekind, consiguieron que la Teoría de Conjuntos fuera reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realizado en Zurich en 1897.
a finales del siglo XIX Cantor había revolucionado los Fundamentos de la Matemática, había sido fuertemente combatido y al final había triunfado -
Cada conjunto puede ser bien ordenado
De nuevo en 1902 fue mencionado por Beppo Levi, pero el primero en introducir formalmente el axioma fue Zermelo cuando demostró, en 1904, que cada conjunto puede ser bien ordenado. Cantor había conjeturado este teorema. -
Conclusiones sobre la Teoría de Conjuntos
La teoría de los conjuntos permite construir objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones que junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los naturales (N), números enteros (Z), números racionales (Q), reales (R) y números complejos (C).
