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Primeros Trabajos sobre la Formalización de los Irracionales
La fundamentación de los números reales requería en primera
instancia de la formalización de los irracionales, cuya existencia
presuponía la construcción de los racionales. William Hamilton sugirió la idea de la partición de los racionales en dos clases (cortadura de Dedekind) y define un número irracional como el representante de tal partición. -
Nacimiento de Georg Cantor
Nace en San Petersburgo, Rusia, unos de los hombres más importantes de la historia de las matemáticas, fundador de Teoría de Conjuntos, la cual se posiciona como piedra angular de las matemáticas modernas. -
Método Liuville
Un número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q tales que q > 1 y también que satisfacen: 0 < |x − p/q| < 1/qn. Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |x − p/q| < 1/q2, además que todo número de Liouville es trascendental e irracional. -
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Primeros Planteamientos Canteanos sobre Conjustos.
Cantor demuestra la enumerabilidad de los racionales, la no enumerabilidad de los reales y la enumerabilidad del conjunto de los números algebraico y con el método de diagonalizacion
pone sobre la mesa la presencia del infinito actual o real. La equipotencia entre naturales y racionales echaba por tierra
el intocable postulado de que el todo siempre es mayor que la
parte y la no enumerabilidad de los reales ponía a la vista la
existencia tangible de al menos dos infinitos de tamaños diferentes. -
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Mathematishe Annalen
Allí Cantor escribe una serie inigualable de artículos atacando
los problemas de equipotencia, de los conjuntos totalmente
ordenados, de las propiedades topológicas de R y Rn, de
la medida de un conjunto, de la concepción del continuo, de los
conjuntos bien ordenados, de los ordinales y de los cardinales.
Desarrolla también la teoría de los conjuntos totalmente ordenados, la aritmética de ordinales, demuestra que m < 2m e intenta probar que existe una relación de buen orden entre los cardinales. -
Lógica Simbólica
Frege publicó su revolucionaria obra titulada Conceptografía en la que sentó las bases de la lógica matemática moderna. Mediante la introducción de una nueva sintaxis, permitió formalizar una enorme cantidad de nuevos argumentos. Una vez fijados los principios axiomáticos de la lógica, cometió la tarea de edificar la aritmética sobre la base de aquella. Su planteamiento hizo resurgir una antigua pregunta: ¿existe un modo no intuitivo de definir las operaciones entre naturales? -
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Proceso de Aritmetización del Análisis
El proceso que le dió sentido
pleno a la frase de Kronecker de “Dios creó los naturales, el
resto es obra del hombre.”, se completó con tres trabajos de
importancia histórica: la construcción de los racionales hecha
por Weierstrass a partir de los enteros; la teoría de los enteros presentada por Dedekind en
su famosa obra publicada
en 1888 y la
axiomatización de los números naturales propuesta por Peano en
1889 en su obra Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita. -
Congreso Internacional de Matemáticas, Zurich
Allí fue donde la persistencia de Cantor, sumada al apoyo personal y científico de Dedekind, consiguieron que la Teoría de Conjuntos fuera reconocida, donde Hadamard y Hurwitz con el respaldo
de Hilbert, mostraron a la comunidad matemática toda la
contundencia y todo el poder de la nueva teoría al ser utilizada
en Análisis. En resumen: a finales del siglo XIX Cantor había
revolucionado los Fundamentos de la Matemática, había sido
fuertemente combatido y al final había triunfado.
