-
La integración antes del Cálculo Los indivisibles de Cavalieri
Discípulo de Galileo y profesor en la Universidad de
Bolonia, desarrollo una técnica geométrica cuadraturas llamada métodos de los indivisibles. -
Cuadratura de la cicloide por Roberval.
Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente el método de los indivisibles de Cavalieri. Recuerda que la cicloide es la curva que describe un punto
de una circunferencia que rueda sin deslizar. -
Period: to
El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes.
Roberval y Torricelli descubrieron independientemente un método para calcular
tangentes por medio de consideraciones cinemáticas. Este método se apoya en dos ideas básicas:
la primera es la de considerar una curva como la trayectoria de un punto móvil que obedece a
dos movimientos simultáneamente, y la segunda es la de considerar la tangente en un punto de
la curva como la dirección del movimiento en ese mismo punto. -
El método de máximos y mínimos de Fermat, Pierre de Fermat.
Fermat escribió una memoria titulada Methodus ad disquirendam maximan et minimam (Método para la investigación de máximos y mínimos). En ella se establecía el
primer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos. -
El método de máximos y mínimos de Fermat, Pierre de Fermat.
El método de máximos y mínimos de Fermat, Pierre de Fermat. Realmente no se entiende bien la razón de por qué Fermat usa su método de máximos y mínimos para calcular tangentes y Descartes hizo una dura crítica de esta forma de proceder. -
Parábolas e hipérbolas de Fermat, Pierre de Fermat.
Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas por
arcos de hipérbolas generalizadas xn ym = 1 (m, n 2 N).
"Digo que todas estas infinitas hipérbolas, excepto la de Apolonio, que es la primera, pueden ser cuadradas por el método de la progresión geométrica, de acuerdo a un
procedimiento uniforme general." Fermat. -
Period: to
Gottfried Wilhelm Leibniz .
nació en Leipzig (Alemania) en el seno de una
piadosa familia luterana. A los quince años entró en la Universidad de su ciudad natal donde
estudió una gran variedad de materias incluyendo derecho, teología, losofía y matemáticas. Se
doctoró a la edad de 21 años en la Universidad de Altdorf, en Nuremberg, -
La integración aritmética de Wallis John Wallis.
John Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratado Arithmetica innitorum (La Aritmética de los infinitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. -
Cálculo de tangentes y de valores extremos.
Técnicas en las que podemos apreciar
el uso de derivadas. Suelen ser técnicas especifícas para resolver problemas concretos de forma empírica, con frecuencia dichas técnicas no se justifican sino que, simplemente, se
comprueba que proporcionan soluciones correctas. -
Newton y el cálculo de fluxiones
Descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas.
A finales 1665 descubre, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666
el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos años
también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. -
El triángulo diferencial de Barrow, Isaac Barrow.
También dio un método para calcular tangentes. Barrow era un
admirador de los geómetras antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de Arquímedes, ala vez que publicaba sus propias obras Lectiones Opticae (1669) y Lectiones Geometricae (1670) en la edición de las cuales colaboró Newton. El tratado Lectiones Geometricae se considera una
de las principales aportaciones al Cálculo. -
El resultado fundamental de Barrow.
Barrow estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y
de cuadraturas, pero su conservadora adhesión a los métodos geométricos le impidió hacer uso
efectivo de esta relación. -
Los inventores del Cálculo
Newton en 1664 - 1666 y Leibniz en 1675 inventaron
el Cálculo de forma independiente:
Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran
variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.
-
Methodus Fluxionum et Serierum Innitarum
El concepto básico es el de
cantidad en movimiento o que uye continuamente en el tiempo. Las magnitudes están generadas por el movimiento continuo y no por agregación de cantidades infinitesimales; la
idea básica es la de continuidad tal como se observa en los procesos de la Naturaleza. -
El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz.
Sir Isaac Newton: Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Reino Unido).
Murió el 31 de marzo de 1727 en Londres (Reino Unido).
Gottfried Wilhelm von Leibniz: Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig (ahora Alemania).
Murió el 14 de noviembre de 1716 en Hannover, (Alemania). -
Aproximación de una cuadratura.
La suma de las ordenadas es una aproximación de la cuadratura de la curva (del área
bajo la curva), y la diferencia entre dos ordenadas sucesivas es aproximadamente igual a la
pendiente de la correspondiente tangente. Cuanto más pequeña se elija la unidad 1, tanto mejor
serán estas aproximaciones. -
Quadrature of Curves
Newton expresa su propósito de abandonar por completo
el uso de cantidades innitesimales. Manifiesta en este sentido que errores quam minimi in rebus
mathematicis non sunt contemnendi , esto es, que en matemáticas ni siquiera los errores más
pequeños pueden ser admitidos. Y eso es justamente lo que se hacía cuando se despreciaban en
los cálculos cantidades infinitesimales. Seguidamente, enuncia su teoría de las razones primera y
última de cantidades evanescentes . -
Leibniz y el cálculo de diferencias
En las matemáticas de Leibniz son importantes los estudios sobre sucesiones numéricas y sus sucesiones de diferencias consecutivas asociadas. lo que indica que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que el proceso de
formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión inicial, es decir, que se
trata de operaciones inversas una de la otra. -
La primera publicación sobre cálculo diferencial
fue el artículo de Leibniz Nova methodus
pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractals nec irrationales quantitates
moratur, et singulare pro illis calculi genus, que fue publicado en Acta Eruditorum hace ya más
de tres siglos, en 1684. En este trabajo, Leibniz definía el diferencial de forma que evitaba
el uso de las sospechosas cantidades innitesimales. -
Newton en el libro Methodus fluxionum et serierum infinitorum
escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736.
Newton considera cantidades variables que van fluyendo con el tiempo, a las que llama fluentes.
Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las fluentes, a las que llama
fluxiones, que son las derivadas respecto al tiempo de las fluentes.
