Cálculo Integral.

¿Qué es el Cálculo Integral y Su Origen?

391 BCE

Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C. El cálculo integral es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y aplicaciones de la integral indefinida y la integral definida. Es un método que permite encontrar la relación entre magnitudes que cambian según ciertas reglas.

Prehistoria del Cálculo Integral

Period: 391 BCE to 1500

¡Viaja a los albores del Cálculo Integral!

• Siglo III a.C.: Arquímedes, el maestro griego, abre las puertas al cálculo con el método de agotamiento.
• Siglo I a.C.: Eudoxo de Cnido, otro genio griego, refina el método de agotamiento con su método de exhaustión.
• Siglo XIII: Fibonacci, el matemático italiano, utiliza la sucesión de Fibonacci para aproximar áreas bajo curvas.

Descubre cómo estos pioneros sentaron las bases para el desarrollo del Cálculo Integral.

Eudoxo de Cnido.

390 BCE

Desarrolla el método de exhaustión para calcular el área bajo una curva. Este método divide la curva en rectángulos y aproxima el área como la suma de las áreas de los rectángulos.

Arquímedes.

287 BCE

Escritos importantes como el de la esfera y el cilindro donde introduce el concepto de concavidad, así como ciertos postulados referentes a la linea recta.
De los conoides y esferoides en donde define las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono.
De las espirales en donde analiza estas importantes curvas y analiza sus elementos representativos.

Leonardo de Pisa - Fibonacci

1170

Fibonacci utiliza la sucesión de Fibonacci para aproximar el área bajo una curva.

Johannes Kepler

1571

Estudio de los volúmenes de los solidos de revolución en el cual Kepler basándose en el trabajo de Arquímedes, utilizo la resolución en indivisibles.

René Descartes

1596

Sistematización de la geometría analítica. Fue el primer matemático que intento clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Fue también el responsable de la utilización de las ultimas letras del abecedario para designar cantidades desconocidas y las primeras como las conocidas.
Simplifico la notación algebraica y creo la geometría analítica, creador del sistema de coordenadas cartesianas

Siglo XVII: El Nacimiento del Cálculo Integral:

Period: 1621 to 1675

¡Descubre el nacimiento del Cálculo Integral!

• 1637: Pierre de Fermat abre las puertas al cálculo diferencial.
• 1647: Evangelista Torricelli conquista la parábola con el método de indivisibles.
• 1665: ¡Eureka! Newton y Leibniz descubren el cálculo infinitesimal de forma independiente.
• 1669: Newton presenta su método de fluxiones en "De Quadratura Curvarum".
• 1675: Leibniz nos regala la notación integral (∫) en "De Analysi Infinitorum".

Blaise Pascal

1623

Ayudo a crear dos grandes áreas de investigación, escribió importantes tratados sobre geometría proyectiva. En 1646 refuto las teorías aristotélicas que insistían en que la naturaleza aborrece el vacío y sus resultados causaron discusiones antes de ser generalmente aceptados.
Invento la calculadora mecánica en 1642.

Pierre de Fermat

1637

Pierre de Fermat (1629-1637) contribuyó al cálculo diferencial e integral, la teoría de números y la teoría de las probabilidades.
+ Fermat también desarrolló el primer método general para determinar máximos y mínimos. Este método se encuentra en su obra

Methodus ad disquirendam maximam et minimam.
+ Desarrolla un método para encontrar tangentes a curvas, utilizando la idea de "velocidad instantánea". Este método es un precursor del cálculo diferencial.

Isaac Newton.

1643

Desarrollador del calculo matemático.
Desarrollador del calculo integral y diferencial que utilizó en la física. También, contribuyó en el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

Gottfried Wilhelm Leibniz

1644

Estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos así como las tangentes esto dentro del calculo diferencial; dentro del integral logro la resolución del problema de hallar la curva cuya subtangente es constante.
Inventor de los nombres del calculo así como también la invención de el signo de igual.

Guillaume de l'Hôpital

1661

Matemático francés,
Escribió el primer libro de calculo influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores Bernoulli y Leibniz. El logro más conocido atribuido a su nombre es el descubrimiento de la Regla de L'Hôpital, que se emplea para calcular el valor límite de una fracción donde numerador y denominador tienden a cero o ambos tienden a infinito.

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibnizn.

1665

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubren el cálculo infinitesimal de forma independiente. Este descubrimiento permite calcular áreas, volúmenes y otras cantidades que cambian continuamente.

Newton publica "De Quadratura Curvarum"

1667

Donde presenta su método de fluxiones para el cálculo integral. Este método utiliza la idea de "flujo" para calcular la tasa de cambio de una cantidad.

Leibniz publica "De Analysi Infinitorum"

1675

Donde introduce la notación integral actual (∫). Esta notación facilita el cálculo de integrales.

Daniel Bernoulli

1700

Daniel Bernoulli (1700-1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo. Nació en Groninga, Holanda, y murió en Basilea, Suiza.

• Bernoulli fue el científico que enunció la ecuación que lleva el nombre de su familia. Esta ecuación describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua.
• Integró la palabra integral como termino del calculo.
• Escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo.

Leonhard Euler

1734

Leonhard Euler (1707-1783) fue un matemático, físico, astrónomo, geógrafo, lógico e ingeniero suizo.
Aportes al cálculo integral, entre ellos:
+ Introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas,

f(x)
+ El número e, la letra griega que representa el símbolo para los sumatorios, la letra i para los números imaginarios y la letra pi para representar el cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro.

Siglo XVIII: Desarrollo y Refinamiento:

Period: 1734 to 1787

¡El Cálculo Integral se consolida!

• 1734: Leonhard Euler facilita el trabajo con funciones con la notación f(x).
• 1748: Joseph Louis Lagrange introduce el cálculo de variaciones.
• 1787: Pierre-Simon Laplace aplica el cálculo integral a la mecánica celeste en "Mécanique Céleste".

Joseph-Louis Lagrange

1736

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue un matemático, físico y astrónomo italiano. Lagrange es conocido por:
+ Crear el cálculo de variaciones
+ Sistematizar las ecuaciones diferenciales
+ Trabajar en la teoría de números Desproveyó el estudio de las derivadas de cualquier cosa que hablara deflexiones, cantidades infinitamente diminutas o infinitésimos. Suyo es el termino derivada y la notación x que utilizamos actualmente para designar la derivada de una función.

Carl Friedrich Gauss

1777

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático, físico y astrónomo alemán. Gauss es conocido por sus contribuciones a muchos campos de las matemáticas y la ciencia, como la geometría, la teoría de números, la estadística, el álgebra y la astronomía. También fue un pionero en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos además de los números enteros.
+ Demostró el teorema fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación algebraica tiene una raíz.

Pierre-Simon Laplace

1787

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) fue un matemático, físico y astrónomo francés. Es considerado uno de los científicos más importantes de la historia. Publica

"Mécanique Céleste",

donde aplica el cálculo integral a la mecánica celeste. Este trabajo tiene un gran impacto en la astronomía.

Augustin Louis Cauchy

1789

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) fue un matemático francés.
Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
+ Resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros.
+ Apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat.

Siglo XIX: Formalización y Profundización:

Period: 1823 to 1854

¡El Cálculo Integral se vuelve más preciso!

• 1823: Augustin-Louis Cauchy da una definición rigurosa de la integral.
• 1829: Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi exploran las funciones elípticas.
• 1854: Bernhard Riemann expande el cálculo integral a las variedades.

Georg Friedrich Bernhard Riemann

1826

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue un matemático alemán que hizo contribuciones importantes al análisis y la geometría diferencial. Su trabajo fue brillante y de importancia capital.
+ Riemann permitió calcular las integrales a partir de la definición como un límite de sumas. Su geometría es importante porque usa y extiende la geometría euclídea y la geometría de superficies.

Bernhard Riemann

1826

Bernhard Riemann (1826-1866) fue un matemático alemán que hizo importantes contribuciones al análisis, la teoría de números y la geometría diferencial.

• También, desarrolla la teoría de la integración sobre variedades. Esta teoría permite integrar funciones sobre objetos geométricos más complejos que las curvas.

Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi

1829

Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi estudian las funciones elípticas. Estas funciones tienen aplicaciones en física, ingeniería y otras áreas.

• Abel escribió una serie de artículos sobre funciones elípticas y preparó un libro de memorias que se publicaría después de su muerte.
• Jacobi, hizo numerosas contribuciones al análisis, especialmente en el área de las integrales elípticas. Jacobi desarrolló los determinantes funcionales, y las ecuaciones diferenciales.

Josiah Willard Gibbs

1839

Josiah Willard Gibbs (1839-1903) fue un físico, químico y matemático estadounidense. Es conocido por sus contribuciones a la teoría de la medida y de la integral, y por inventar el cálculo vectorial. Gibbs es considerado el padre fundador de la fisicoquímica. En su publicación de 1876, Estudio sobre el equilibrio de sustancias heterogéneas, acuñó términos como energía libre y potencial químico.

Henri Léon Lebesgue

1875

Henri Léon Lebesgue (1875 - 1941) fue un matemático francés conocido por su teoría de la integración. Esta teoría es una generalización del concepto de integración del siglo XVII.
+ Definió la integral de Lebesgue que generaliza la noción de la integral de Reimann extendiendo el concepto de área bajo una curva.
+ También aporto en ramas como la topología, la teoría del potencial y el análisis de Fourier.

Integración de Lebesgue

1902

Henri Lebesgue desarrolla la teoría de la integración de Lebesgue. Esta teoría generaliza la integración de Riemann y permite trabajar con funciones más generales.

Siglo XX: Expansión y Aplicaciones:

Period: 1902 to 2000

¡El Cálculo Integral se expande a nuevos horizontes!

• 1902: Henri Lebesgue generaliza la integración con la teoría de Lebesgue.
• 1935: Kurt Gödel demuestra las limitaciones del cálculo integral.
• Siglo XX en adelante: El Cálculo Integral se aplica en física, ingeniería, economía, finanzas, biología y más.

Kurt Gödel

1906

Kurt Gödel (1906 - 1978) fue un lógico, matemático y filósofo austríaco. Se le considera uno de los lógicos más importantes de todos los tiempos.
+ Este, demuestra que la existencia de una integral no es un teorema demostrable en los axiomas de Peano. Este resultado muestra las limitaciones del cálculo integral.

Siglo XX en adelante

2000

El cálculo integral se utiliza en una amplia variedad de campos, como la física, la ingeniería, la economía, las finanzas y la biología. Este campo tiene un impacto significativo en el desarrollo científico y tecnológico.

Siglos XXI y posteriores:

Period: 2000 to 2024

¡El futuro del Cálculo Integral nos espera!

• ¿Qué nuevas aplicaciones se descubrirán?
• ¿Qué avances teóricos se desarrollarán?

¡Sigue explorando y descubre el poder del Cálculo Integral!